外彈道理論學習心得

ca1903

過去幾年，對外彈道興趣躍增，但是網路上總覺得學習不清，因此買了幾本外彈道的書籍研讀。有了點心得。邊學習邊做筆記。之後也有一兩年時間，擱著沒有動靜。想想還是別偷懶，希望藉著分享，將期間疏漏錯誤，能夠由大家幫忙改正。

恕我先偷懶，因全文長，又有圖、表，po文花時間，先將戰國的鏈結發在這。以後慢慢全文也發在這裡

http://artofwar-tw.org/bboard/vi ... 240440359f0ea1b2a53

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这个博学强记之人，深度好文，收藏了。
顶顶顶！！！

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赞！收藏学习

爱枪的人

ca1903

能對大家有點用處就好。

ca1903

因为原来网路存放相片的网站作怪开始收钱，不愿交所以相片都失去了。同时Hornady推出新的4DOF做法，因此花点时间将原文及最新的心得一并贴上。

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前言:

外彈道是任何射擊都需要瞭解的。距離拉長了，更需要外彈道。從最早的G1彈道係數，到Pejsa的修改，G7（Litz大力提倡），以及現在Hornady的4D，不斷的提升精度。此筆記涵蓋基本的理論理解，再比較以上的幾個做法的差異。最後理解一下環境的影響（溫度、氣壓、濕度）

討論範疇

1.      外彈道，是指子彈離開槍口，到達目標的這段距離。在離開槍口前是內彈道，在進入目標後是終端彈道（terminal ballistics）

2.      子彈在來福線影響下會旋轉。這種類似陀螺的旋轉，在美式足球裡可以看出一些端倪。子彈的質心運動的軌跡是外彈道主要的計算項目

3.      子彈的陀螺旋轉運動，還有其他的效應，比如precession，nutation。彈頭常是圍繞著外彈道軌跡做precession或nutation。這與子彈旋轉速度有關，決定於槍口初速與來複線纏距。出了槍口後，因速度降低，旋轉速度也降低（但降的要比速度慢），穩定度提升。但是穿音速（Transonic）區域有其獨特挑戰，這些就不在目前的外彈道筆記的考量之內。

4.      外彈道計算的目標，以對應於距離，算出彈速，時間，垂直下落，以及水平受風平移距離。有了這些基本數字，加入瞄準具與槍管的軸線距離，可以算出在某距離歸零後，其他距離該如何更改瞄具設定。

外彈道基本知識

1.      外彈道基本上是個拋物線，受地心引力影響。

2.      但是還有空氣阻力，造成拋物線的扭曲。

3.      這個空氣阻力是最主要的計算。隨著高度、濕度，空氣的密度都受影響，因而影響外彈道。

4.      在實際長距離射擊時，風是影響彈著的最主要因素。實際上，風沿著子彈軌跡，多半是變化的：風速與風向都會不同。因此風速的計算再準確，也會受風速估計的誤差而決定了實際射擊時候的彈著偏差。

5.      橫風除了造成左右偏差，還會有上下的影響（比左右水平偏移要小很多）

6.      還有Gyroscopic drift的影響，在Litz和Hornardy 4D都討論；Coriolis force要在更長距離才明顯，這也不在外彈道筆記的討論之內。

7.      彈道係數，最早依據Mayevski-Ingalls的模型來建立（G1）。

彈道係數（G1）是最初建立的體系。在19世紀末，依循砲彈與子彈形狀，德國Krupp公司開始發展彈道實驗。Mayevski建立了數學模式來預測軌跡，Ingalls發表了列表（那時代，這些列表是工程重要的工具）。Ingalls定義了彈道係數Ballistic Coefficient（BC），是一顆子彈相對比與Krupp的標準彈頭在克服空氣阻力的性能。所以BC是個比較值。

數學上：

空氣阻力Fdrag=0.5*ρ*V^2*CD*A

                              

where:

  is the drag force, which is by definition theforce component in the direction of the flow velocity,[6]

  is the mass density of the fluid,[7]

  is the speedof the object relative to the fluid and

  is the reference area.

CD（coefficientof drag）是阻力係數，同樣的形狀（線性比例）CD相同。

這顆子彈在空氣中受到的加速度（其實是減速），應是：

a=Fdrag/m=0.5*(ρ*π/4*d^2/m)*CD*V^2=C1*(d^2/m)*CD*V^2=C1/SD*CD*V^2.  

d是彈頭直徑，m是質量，SD= m/d^2是sectional density.

參考彈頭，是1英寸直徑，1磅重量，它的BC定義做1。其中ρ，SD都不隨子彈速度變化；但是CD（V）不是常數。測量這個參考彈頭的減速a（V），就可以找出參考彈頭的CD對應於子彈速度的函數，CD(V)=a(V)/C1×SD/V^2。

對於其他彈頭，它的CD(V)與參考彈頭就不同了。而射擊界常見的BC，就是

BC=a(V)|ref / a(V)=[ CDref(V)/ SDref]/[CD(V)/ SD], since SDref=1

BC=SD/[CD(V)/CDref(V)]=SD/i, where i= CD(V)/CDref(V) is theform factor

如果測試彈頭與參考彈頭一樣形狀，只是大小不同，那CD(V)=CDref(V)。BC=SD；越小的彈頭BC越小，抗拒空氣阻力的能力越差。

如果測試彈頭形狀不同，CD(V)與CDref(V)並不同，而且隨著V也會有不同的比例，這樣BC就不是一個固定數字，而隨著速度變化了。

下圖是CD（圖裡Y軸的K）對應於子彈速度。a=(1/F)*V^2可以看出

1.      不同速度，CD會不同。在略高於音速，CD最高。離開穿音速的範圍，CD開始下降。

2.      不同子彈形狀，這個CD(V)的細節是很不同的

因此彈頭供應商，不是僅提供一個BC值，而是提供一組BC值，對應於不同的速度範圍。

在上面圖裡，一個是M2（3006）彈頭，實際測量結果。另一個是Mayevski-Ingalls調整BC值後（2500fps及以上範圍與量測結果相合）的對比。兩者在2500fps時候是有相同的drag coefficient。但是因為彈頭形狀不同，在低速時候的CD就很不相同了。（Note, K=CD/2 in Pejsa’s book）

比如在Mayevski-Ingalls N=0的區域，BC會更小，才能讓M-I曲線在這個速度範圍（1500fps左右）與M2相合。換句話說，不同速度區域，要用不同的BC值，才能夠讓兩者有近似的結果。這就是為何須有一組BC值。

這樣的近似方式，還是會有不少的誤差。因此直接依照測量的CD（V）來計算，可以更精準。Pejsa就是這麼做。

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Pejsa彈道方式

目前公認的彈道軟件是JBM。網路上可以使用，印出彈道表。使用JBM可以挑選G1與G7的計算。結果略有出入。

市面上，Pejsa彈道是另一個軟件，宣稱簡單而且與JBM一樣準確。Pejsa也出了一本彈道的書，裡面有詳盡的解釋與公式。

注：Pejsa的書在公式上並不嚴整，每個變數所用的單位並沒有詳細標明。經過仔細比較，確認除了少數失誤，公式都正確。

Pejsa把曲線分成4個區域。最高速由槍口初速（一般在2000fps之上），到約1400fps。這段速度範圍，CD=2k= α V^(-0.5)。也就是隨著速度降低，阻力增大。

下一段是1400pfs到1200fps，這段速度內，CD是常數。

1200fps到1000fps，CD快速下降，以CD α V^(+4)的速率進行。

在1000fps以下，CD是常數。

聲速，在1130fps左右。

起始做法，就是在槍口初速，確認G1的BC的數值，然後依照一般的行為，逐區計算彈道下墜，風偏與時間。

這個圖，也反映了當初飛機要破音速的挑戰。因為速度“增加”接近音速後，阻力快速隨速度增加。超過音速後又開始下降。

在遠距離精確射擊，一般避免彈速降低到穿音速以下，以免精度大幅下降。

這裡我不確定是因為以前彈道不夠準確，還是在音速上下，子彈飛行受到更多的擾動，因而一致性變差。但是Magpul的遠距離精確射擊教材，則延伸射擊距離到亞音速的範圍了，308子彈射擊到1200-1400碼範圍。
註：Bryan Litz 的書，認為是子彈的設計。例如308口徑SMK， 168gr就不如175gr；168gr在超音速區域就不一致，而175gr就好多了。

很多手槍彈的槍口初速，都是在穿音速範圍。甚至有些在亞音速。點22LR也是類似情形。

了解了基本的狀況，其他就在公式的實施。網路上有簡易的spreadsheet,計算Pejsa在1400fps以上的公式。我則延伸涵蓋四個區域。

Pejsa的軟件，起始點在找出槍口初速與彈道係數。這樣到音速之上第一區的範圍，基本上就很準確了。可以再微調這兩者，讓結果與JBM的彈道表更相近。基本上，在音速以上，垂直距離調整與風偏調整（10mph側風），都能維持在0.30moa或更小的差異。

                              

上表顯示Pejsa的結果與JBM結果的差異。在1200fps之上，距離與風偏的差異在0.14moa之內；在1000碼之內，距離與風偏的差異在0.15moa之內，速度只差了31fps，時間只差了0.01秒。子彈是Sierra308口徑168gr。只有到1100碼，已經在亞音速範圍，差異才增加！

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Pejsa方式缺少的資料

在第二區域以下，也就是1400fps以下，很多細節都不易找到。比如1400-1200fps的CD數值？還有低於1000fps以下。JBM網站上的計算，經常自1600-1800fps以下，就是使用一個BC值。如果不在乎音速以下的精確，這也就夠了。

如果仔細檢查上面Mayevski- Ingalls的圖與M2子彈對比：Mayevski-Ingalls曲線在1400fps與800fps相比，K (=CD/2)值是0.15與0.055，約2.73倍。M2子彈，則是0.195與0.111，約1.76倍。如果1400fps左右對齊了，那JBM利用Mayevski-Ingalls的曲線來計算，在亞音速就低估了CD值，造成這範圍計算的子彈前進過快，下墜偏小，風偏也偏小了。即使是製造商的訊息，也常常是在1600以下是一個單一的BC值。

G1與G7

常常看到長距離的彈道係數，該用G7。到底與G1有何差別？

說穿了，G7使用一個更流線型的參考形狀，不再用Mayevski-Ingalls的形狀。現在的彈頭，多為流線型，更接近G7，因此用G7來做，會更方便。不過比起G1的方式，還是一樣，BC|G7仍然隨著彈速而改變，並不會是一個常數；可是G7參考與長程射擊彈頭形狀接近，因此BC|G7隨速度變化就會很小了！。

參考形狀不同，BC|G1與BC|G7在數值上當然不同。

追根究底，知道了CD(V)，就容易計算了！

比較Pejsa與G7, 差別還是在穿音速的部分！在超音速部分，重點是Cd(V)的圖形。Pejsa用的是一個固定的N=0.5，也就是Cd(V)=f*V-N.  

參考Bryan Litz的書，並沒找到G7的“公式”。

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測量結果與Pejsa公式的差異：

BryanLitz的書裡，有很多彈頭的測試結果。經過整理，先看看Mach 1.2以上的部分：

這裡列出 223彈頭從55gr到77gr，及308彈頭從155到210gr。我們可以看到，除了Sierra MatchKing 308 175gr的N是小於0.5，其他都大於0.5，像MatchKing 168gr接近0.6！越大的N值表示隨著速度下降，阻力更高！

下表是Pejsa的公式用N=0.5與N=0.6的比較。在槍口初速時候，兩者的CD值一樣，但是隨著阻力，速度下降的快慢差異就顯示出來。在音速左右，速度差別25fps，但是高低差了1moa。所以到800碼，約1400fps，誤差在0.2moa之內就還好！

至於G7，因為它的N值不知。我們將其模型做個分析，可以看到如下結果：

X軸是馬克數取log。Y軸是CD（mach number）也取log。兩者斜率就是-N值。並不是一個直線。但是平均值在0.585.

                              

簡單說，不管用G1還是G7，在某個速度CD都是可以相同的。但彈頭形狀如果不同，不管用G1+Pejsa還是G7，隨著距離/速度，都有誤差。最後還是得靶場校正才行。

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比較Pejsa與G7：

這裡，最左側是G7，利用Bryan Litz的資料與calculator算出。同樣子彈的G1數據，輸入Pejsa運算，得到第二組的數據。兩者差異在第三組。

這裡G7的計算，是否包含了側風時候對子彈上下的影響，spin drift 的影響，甚至Coriolis force的影響就不知了。但是Pejsa計算裡不含這些。

兩者的差異，在實際使用上，算不算可接受？其實從子彈量側結果來看，都用G7來分析，期間還是有不同點。Pejsa與G7非常類似，不同處，一個是用公式，一個看似用列表。但是又很接近，就看與實際彈頭的差異多寡吧！也就是精度的要求。

Hornady的4DOF

在上述筆記完成後一年，Hornady推出了4DOF的計算。基本上，G1與G7都是以彈頭質心來做計算，也就是xyz對時間t的運算，沒有考慮彈頭的來福旋轉效果。複雜的當然要用6DOF來做。Hornady則做了簡化，也就是加了一個彈頭形狀的軸線對彈頭軌跡的夾角作為第四個參數。同時量測技術的進步，可以用Doppler Radar直接量測彈頭的速度對時間。Litz做G7的量測，還是用聲波檢測，因此只能在彈頭軌跡之下的地面，安排幾個距離安置sensor來量聲波訊號。Hornady用量測結果來做計算，當然就更準確了。而且還增加了Gyroscopic Drift。其實Litz也將6DOF的計算結果，用公式來近似，可以估計Gyroscopic Drift的量。

註：Gyroscopic Dift是什麼？看美式足球，四分衛投出球，球會旋轉。一出手的時候，球的前端尖是朝上，過了軌跡的最高點後，球的前端尖朝下了。子彈頭也是這樣。這表示原來子彈旋轉的軸線原來是朝上，但是到了後半，軸線改變成朝下。這個旋轉軸線的方向改變，會影響子彈質心的水平運動方向。這個效果比Coriolis force還要大。

比較Hornady的4DOF計算結果，與JBM的結果還是很近似。這個差異在1000碼或更長距離的射擊有多重要？比如比起風速的估計誤差？

高度，濕度，溫度，氣壓變化的影響

這裡就直述結果。

音速只是溫度的函數，不受氣壓影響。也就是穿音速的範圍的實際速度會隨溫度而不同。CD(V)的函數，如果用馬赫數來表示，是不變的。換句話說，如果音速增加了，在同樣的超音速度的CD，其數值會高。

在阻力的公式裡，它只受空氣密度決定。而空氣,是由乾空氣與水蒸氣組合。所以知道了當地的量測氣壓及相對濕度，氣溫，就可以計算出空氣密度，進而決定CD值的變化（正比與空氣密度）

很多地方提到高度變化時候，氣壓，溫度等變化。如果帶著像Kestrel等儀器，就不需要知道高度，因為在地的測量知道當地的氣壓、相對濕度、氣溫，輸入彈道計算器就可以抓出結果。

總結：

筆記綜合了目前的基本瞭解。Pejsa的公式，用excel來做運算，其結果與JBM的G1很接近，與G7有些誤差。手機上可以下載彈道計算APP。過去試過幾種。最近也下載了Hornady 4DOF APP。看來計算都還算接近。

以上都是紙上談兵，因為千碼靶場距離遠，戶外如何設計精確實驗能消除掉風偏的影響？還是說，DOPE+風偏估計的能力在實質上仍然最重要？

Peteryeu

ms86

ucol

太有意思了，那么，每次打靶时，如何 采集数据来跑这些公式呢？

kuehle

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